Magia potagia

Hoy os voy a explicar una paradoja que es cosa de magia: la paradoja de Banach-Tarski. ¿Qué dice esta paradoja? Dice que es posible dividir una esfera (llena) de radio 1 en ocho partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos a cinco de ellas, obtengamos nuevos conjuntos que constituyan una partición de una esfera (llena) de radio 1, y lo mismo ocurra con las tres partes restantes.

En palabras más sencillas, se supone que se puede fabricar un puzzle tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formarían una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera (¡magia!).

Seguramente más de uno se ha quedado picueto pero esta paradoja, que en realidad es un teorema, tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún engaño ni artificio matemático. Nuestra mente dice que no puede ser que de una esfera saquemos dos, en el mundo real efectivamente esto no puede ser ya que una de las piezas está formada por un solo punto y en la realidad no se puede conseguir un punto solo sin volumen (si alguien lo consigue que me llame que quiero verlo).

Por otro lado si las esferas fueran materiales y tuvieran un volumen tampoco podría ser ya que estaríamos fabricando materia de la nada. Entonces ¿cómo es posible que lo que dice el teorema sea cierto? Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos (simetrías, traslaciones, rotaciones, etc...) deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

El axioma de elección dice que dada una colección de conjuntos, cada uno con al menos un objeto, se puede tomar exactamente un objeto de cada conjunto y ponerlos en un nuevo conjunto, aun si hay una cantidad infinita de conjuntos, y no hay una regla que indique qué objetos tomar. El axioma no resulta necesario cuando existe tal regla ni cuando el número de conjuntos es finito (parece un lío pero es una chorrada si lo pensais despacio). Es decir que si tienes un corral con una colección de conjuntos que no estén vacíos puedes coger una cosa de cada conjunto y echarlo en otro y sigue habiendo infinitos conjuntos y nadie te dice de donde coger las cosas.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante liosa para los profanos de las matemáticas y para los que no lo son también. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.

Así que podemos, matemáticamente hablando, coger una naranja y hacerla trozos y al "recomponer" esos trozos que nos salga una naranja del tamaño de una sandía y ponernos finos. ¿No parece mala idea no?

Si queréis más información sobre el tema en el enlace de la Wikipedia explican más y mejor que yo.